WYBRANE ASPEKTY ZASTOSOWANIA SYMULACJI KOMPUTEROWYCH W NANOTECHNOLOGII

Michał Wardzyński , Ihor Ohirko

Uniwersytet Technologiczno-Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu

Modelowanie numeryczne jest dziś jedną z najbardziej obiecujących i rozwijających się dziedzin inżynierii. Główną jego zaletą jest możliwość uzyskania rozwiązania danego problemu, który inaczej należałoby rozwiązać za pomocą metod doświadczalnych. W ostatnich latach obserwuje się gwałtowny rozwój nanotechnologii. Nanotechnologia jest dziedziną nauki zajmującą się materiałami i układami, których struktury i elementy wykazują osobliwe właściwości doskonale rozwinięte fizycznie, chemicznie i biologicznie, a zachodzące w nich procesy spowodowane są ich nanorozmiarami. Celem nanotechnologii jest wykorzystanie tych właściwości poprzez osiągnięcie kontroli na poziomie atomowym i molekularnym cząsteczek oraz opracowanie skutecznego sposobu ich wytwarzania i wykorzystania. Zachowanie cząsteczek w ”nanoskali” jest nie do przewidzenia w porównaniu z tym obserwowanym w większych cząsteczkach. Możliwość zmniejszenia wymiarów cząsteczki do nanoskali prowadzi do uzyskania wyjątkowych własności. Projektowanie takich urządzeń i materiałów wymaga jednak rozwoju adekwatnych narzędzi obliczeniowych. W odniesieniu do zagadnień klasycznych (w skali makro) modelowanie i symulacje numeryczne są szeroko stosowane w praktycznych badaniach naukowych, projektach inżynieryjno – technicznych oraz przemysłowych w skali globalnej. Prototypy modeli fi- zycznych są obecnie ulepszane i czasami zastępowane modelami komputerowymi, które mają swoją ekonomiczną przewagę. Do obliczeń wielkości fizycznych układów służą komercyjne solvery działające w oparciu o dyskretyzację klasycznych równań zachowania, opisujących ośrodek jako ciągły. W zagadnieniach związanych z nanotechnologią model ośrodka ciągłego nie może być stosowany, jak również metody obliczeniowe oparte na tym modelu. Symulacje komputerowe stały się tu doskonałym narzędziem umożliwiającym rozwią- zanie wielu problemów związanych z fizyką statyczną, chemią materiałową oraz biofizyką. Ponadto symulacja komputerowa bywa jedyną rozsądną alternatywą analizy zjawiska tam, gdzie budowa wiarygodnego modelu analitycznego oraz wykonanie eksperymentu jest niemożliwe lub bardzo trudne

W porównaniu z obserwowanymi cząsteczkami w skali makro zachowanie nanocząsteczek jest nie do przewidzenia. Modelowanie i symulacje numeryczne są powszechnie stosowane do zagadnień klasycznych (w skali makro). Model ośrodka oraz obliczenia oparte na tym modelu nie mogą być stosowane w zagadnieniach związanych z nanotechnologią. Zastosowanie tu znalazły symulacje komputerowe, które znakomicie umożliwiają znalezienie rozwiązania dla problemów związanych z biofizyką, fizyką statyczną oraz chemią materiałową. Symulacja komputerowa doskonale zastępuję analizę zjawiska tam gdzie jest ona niemożliwa lub bardzo trudna do wykonania, najczęściej przy budowie wiarygodnego modelu analitycznego czy wykonaniu eksperymentu. Czasami jedynie przy zastosowaniu symulacji komputerowej można zbadać dokładnie aspekty złożonych systemów pomimo tego, że techniki eksperymentalne dotyczące szczegółowych informacji są zadowalające. W celu przeprowadzenia symulacji komputerowej należy wprowadzić parametry wejściowe, które są charakterystyczne dla modelowanego systemu. Takie parametry uzyskujemy z teoretycznych rozwiązań lub z danych eksperymentalnych.

Wyróżniamy dwie klasy metod symulacji: deterministyczne oraz stochastyczne. Podstawą metod deterministycznych jest wykorzystanie dynamiki wewnętrznej modelu do przemieszczania układu w przestrzeni fazowej. Aby przemieszczać układ poprzez przestrzeń fazową należy sformułować równania ruchu i całkować je po czasie. Metoda stochastyczna opiera się ono na fakcie, że
w istocie konieczne jest wyznaczenie wartości jedynie konfiguracyjnej części zagadnienia. Część pędową można zawsze scałkować i wyłączyć. Przejście z jednej konfiguracji do następnej, która w ujęciu deterministycznym była określona przez wartości pędów, w metodach stochastycznych jest realizowane w wyniku ewolucji probabilistycznej za pośrednictwem procesu Markowa.

Dynamika molekularna

Metoda numerycznego całkowania równań ruchu układów wielocząsteczkowych nazywana jest dynamiką molekularną. Układy składające się z cząstek podlegają klasycznym prawom ruchu, natomiast mikroskopowe parametry opisujące stan układu obliczane są jako średnie po trajektorii w przestrzeni fazowej.

Opis działania dynamiki molekularnej:
– dla każdej cząstki należy obliczyć siłę na nią działającą, pochodzącą od pozostałych cząstek ;
– korzystając z obliczonych sił, przy znajomości położenia cząstek, obliczamy nowe położenia i pędy każdej cząstki stosując numeryczne równanie ruchu Newtona;
– wyznaczając parametry mikroskopowe (prędkości i położenia), obliczamy wielkości makroskopowe (temperaturę, energię całkowitą i kinetyczną, współczynnik dyfuzji, ciepło właściwe, lepkość, itp.).

Dynamika molekularna wymaga szczegółowego opisu molekuł oraz oddziałujących między nimi sił. Łączenie równań ruchu złożonych systemów cząstek i i kroków czasowych (od kilku do kilku milionów) jest efektem symulacji dynamiki molekularnej. Trajektorie podążających cząsteczek podczas obliczeń obrazują rzeczywiste molekularne trajektorie. Dynamika molekularna opisuje tempo rozwoju zbioru oddziałujących atomów.

W dynamice molekularnej stosujemy prawa mechaniki klasycznej :

Fi(t) = miai(t)

Ponieważ każdy atom i w systemie został utworzony przez N atomów, mi jest masą atomu,

ai = d2 ri/dt2

jest przyspieszeniem Fi siłą oddziaływującą dzięki oddziaływaniu z innymi atomami.

Dynamika molekularna jest techniką deterministyczną: podanie początkowych pozycji i prędkości oraz czasu późniejszej ewolucji są dokładnie określone. Atomy poruszają się oddziaływując wzajemnie na siebie, wędrują dookoła (jeśli system jest płynem), drgają i prawdopodobnie omijają system w przypadku wolnej przestrzeni. Zatem w pewnym sensie oddziaływają tak jak zrobiłyby to atomy w rzeczywistej substancji.

Chcąc wyrazić siłę pochodzącą od atomu α z molekuły i na atom β z molekuły j jako fiαjβ , wtedy cała siła oddziałująca na molekułę i to :

Fi = ∑j ∑αfiα jẞ 

 Natomiast moment obrotowy jest wyrażany jako:

Ni = ∑α (r – Ri)× f

gdzie:

Ri = 1/Mi  ∑α mr

jest środkiem masy molekuły i.

Ruch jest określony (wyrażony) przez równania Newtona-Eulera:

Mi Ȑi = F,

Ii · ωi − ω× I· ω= Ni,

gdzie ωjest prędkością kątową molekuły.

Powszechnie stosowane jest przedstawianie położenia molekuł za pomocą kwaternionów, które są bardziej preferowane od kątów Eulera.

Dynamika molekularna- algorytmy 

Motorem programu Dynamiki Molekularnej jest jego algorytm integrujący wymagany do łączenia równań ruchu oddziałujących wzajemnie cząstek i podążania za ich trajektorią. Algorytmy łączące bazują na określonych różnych metodach dyskretyzujących czas i krok czasowy równy Δt. Znając położenia poszczególnych cząstek i ich niektóre pochodne po czasie t (szczegóły zależą od typu algorytmu), schemat łączenia daje te same wielkości w późniejszym czasie (t + Δt).

Najprostszym przypadkiem algorytmu dynamiki molekularnej jest zastosowanie do obliczania sił równania ruchu Newtona:

Fi(t) = miai(t)

gdzie  -oznacza siłę, -jest masą,  – przyspieszeniem atomu i.

Siła działająca na atom i może zostać obliczona bezpośrednio poprzez zróżniczkowanie funkcji energii potencjalnej po położeniu :

∂V/∂ri = m(∂2ri/∂ti2)

Powyższe równania są klasycznymi równaniami deterministycznymi. Oznacza to, że jeśli znane są warunki początkowe, dla dowolnej chwili czasowej t znane są położenia i prędkości atomów. Współrzędne i prędkości atomów całego przebiegu symulacji noszą nazwę trajektorii (ang. trajecory).

Metoda rozwiązywania takiego równania jest zawsze taka sama: znając położenia i prędkości atomów w chwili t, oblicza się położenia i prędkości w chwili t+Δt. Najczęściej stosowaną metodą całkowania równań ruchu jest algorytm Verleta.

Podstawowym założeniem algorytmu jest to, aby wyprowadzić dwa rozwinięcia Taylora trzeciego rzędu dla położeń r(t), jednego wstecz a drugiego w przód, w czasie.

Oznaczając prędkość jako v, przyśpieszenie jako a i b jest trzecią pochodną r po czasie t, otrzymujemy:

r (t + ∆t) = r(t) +v(t)∆t + 1/2a(t)∆t2 + (1/6) b(t)∆t3 + O (∆t)

r (t – ∆t) = r(t) – v(t)∆t – 1/2a(t)∆t2 – (1/6) b(t)∆t3 + 0 (∆t)

Zsumowanie obu wyrażeń daje:

r(t + Δt)=2r(t) − r(t − Δt) + a(t)Δ+ O(Δ )

To jest podstawowa forma algorytmu Verleta. Ponieważ łączymy równania Newtona, a(t) jest tylko siłą podzieloną przez masę, jak również siła jest funkcją odwrotną położenia r(t):

a(t) = – (1/m)∆v(r(t))

Prędkości nie są potrzebne, aby policzyć trajektorie, ale są pomocne do oszacowania energii kinetycznej (całkowitej energii). Prędkości te mogą być otrzymane z wzoru:

v(t) = [r(t+∆t) – r(t-∆t)]/ 2∆t

Ten algorytm jest jednocześnie na tyle prosty, dokładny i stabilny, aby wyjaśnić jego dużą popularność wśród symulatorów dynamiki molekularnej.

Ważnym parametrem każdej symulacji dynamiki molekularnej jest krok czasowy. Aby jak najlepiej wykorzystać czas procesora należałoby użyć dużego kroku czasowego. Jednakże takie postępowanie może prowadzić do niedokładności, a nawet niestabilności algorytmu.

Przedstawiony referat w dużym skrócie opisuje zasadę działania symulacji komputerowej, dotyczącej badania przepływu wody w nanokanałach, wykorzystującej metodę Dynamiki Molekularnej. Na podstawie przedstawionych wyników można wywnioskować, że prezentowana metoda jest dobrze dostosowana dla nanoprzepływów, w wyniku czego jest bardzo przydatna w nano-fizyce i nanotechnologii

Źródło : http://www.pwszchelm.pl/kis/publikacje/VII/Kucaba.pdf
Heermann W.D., Computer Simulation Method in Theoretical Physics, Springer Verlag, Berlin 1990.

Grotendorst J., Marx D., Muramatsu A., Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms, John von Neumann Institute for Computing, Jlich, NIC Series, Vol. 10,ISBN 3-00-009057-6, pp. 211-254, 2002.

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Google

Komentujesz korzystając z konta Google. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj /  Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj /  Zmień )

Połączenie z %s